Расчеты переходных процессов в электрических сетях

Переходный процесс

Рис. 1.17. График
переходного процесса

Переходный
процесс в импульсной системе может быть
получен в результате решения разностного
уравнения системы относительно дискретных
значений входной g и выходной y
координаты. Разностное уравнение
определяется на основании дискретной
передаточной функции замкнутой импульсной
системы Ф(z) и имеет следующий вид (1.42)

ay+a₁y+…+a_my[nm]=bg+b₁g+…+b_lg[nl],
(1.103)

приm l
и y 
0, f 
0 для всех n < 0.

Решение его
представляет собой рекуррентную формулу:

;
n=0, 1, 2, … (1.104)

для
нулевых начальных условий y 
0 и g 
0 при n < 0.

Формула (1.104)
используется и для расчета переходных
процессов в непрерывных системах после
дискретизации их дифференциальных
уравнений.

2.2. Классический метод расчета переходных про­цессов.

Название метода «классический» отражает использование в нем ре­шений дифференциальных уравнений с постоянными параметрами ме­тодами классической математики.

Расчет переходного процесса в цепи классическим методом содержит следующие этапы.

1. Прежде всего, необходимо составить систему уравнений на основе законов Кирхгофа, Ома, электромагнитной индукции и т. д., описываю­щих состояние цепи после коммутации, и исключением переменных получить одно дифференциальное уравнение, в общем случае неоднород­ное относительно искомого тока i или напряжения и. Для простых цепей получается дифференциальное уравнение первого или второго порядка, в котором в качестве искомой величины выбирают либо ток в индуктивном элементе, либо напряжение на емкостном элементе.

2. Далее следует составить общее решение полученного неоднород­ного дифференциального уравнения цепи в виде суммы частного ре­шения неоднородного дифференциального уравнения и общего решения соответствующего однородного дифференциального уравнения.

Применительно к электрическим цепям в качестве частного решения неоднородного дифференциального уравнения выбирают установив­шийся режим в рассматриваемой цепи (если он существует), т. е. по­стоянные токи и напряжения, если в цепи действуют источники посто­янных ЭДС и токов, или синусоидальные напряжения и токи при дей­ствии источников синусоидальных ЭДС и токов. Токи и напряжения установившегося режима обозначают i_пр и называют принужденными или установив­шимися.

Общее решение однородного дифференциального уравнения описывает процесс в цепи без источников ЭДС   и тока, который поэтому называют   свободным   процессом.   Токи   и   напряжения   свободного процесса обозначают i _св и и_св    и называют свободными, а их выражения должны содержать постоянные интегрирования, число которых равно порядку однородного уравнения.

Свободный процесс вызывается несоответствием между энергией, сосредоточенной в электрическом и магнитном полях емкостных и индуктивных элементов в момент времени, непосредственно пред­шествовавший коммутации, и энергией этих элементов при новом установившемся режиме в момент времени, непосредственно следую­щий за коммутацией. Энергия элементов не может измениться скач­ком, и ее постепенное изменение обусловливает переходный процесс.

3. Наконец, в общем решении i =i_пр + i_св, u = u_пр + u_св следует найти постоянные интегрирования.

Постоянные интегрирования определяют из начальных условий, т. е. условий в цепи в начальный момент времени после коммутации. Будем считать коммутационные ключи идеальными, т. е. что коммутация в заданный момент времени t происходит мгновенно. При таких комму­тациях ток в индуктивном элементе и напряжение на емкостном эле­менте в начальный момент времени после коммутации t₊ такие же, как в момент времени, непосредственно предшествовавший коммута­ции t_ . Эти условия получаются из законов коммутации.

9.4. Спектры типовых сигналов

Определим спектры наиболее распространенных типов электрических сигналов.

Единичная функция задается уравнением (7.19) (см. рис. 7.2, а). Строго говоря, функция (7.19) не удовлетворяет условию абсолютной интегрируемости, поэтому воспользуемся следующим приемом: умножим 1(t) на «гасящий» множитель е–ct(с = const). При этом можно использовать прямое преобразование Фурье (9.6):

Преобразование F(jw, c) носит название обобщенного преобразования Фурье. Для получения спектра единичной функции перейдем к пределу:

Из уравнения (9.38) получаем амплитудный |F(jw)| = 1/w (рис. 9.4, а) и фазовый спектр функции j(w) (рис. 9.4, б): j(w) = = —p/2, т. е. амплитудный спектр при w = 0 обращается в бесконечность, что свидетельствует о наличии в исходной функции 1(t) скачка при t = 0 (см. рис. 7.2, а). Для образования этого скачка в соответствии с (9.38) при t = 0 осуществляется суммирование бесконечно большого числа синусоидальных составляющих. Спектр (9.38) может быть получен и с помощью изображения единичной функции (7.20):

Единичная импульсная функция. Функция d(t) задается аналитически условиями (7.21). Для нахождения спектра d-функции воспользуемся прямым преобразованием Фурье (9.6), которое с учетом (9.8)—(9.10) можно записать в виде

Так как второе слагаемое равно нулю, а первое — единице вследствие свойств (7.21)—(7.23), то окончательно получим

Таким образом, d-функция имеет равномерный амплитудный и нулевой фазовый спектры. Равенство нулю на всех частотах фазового спектра означает, что все гармонические составляющие d-функции, суммируясь с нулевыми начальными фазами, образуют при t = 0 пик бесконечно большого значения.

Следует отметить, что сдвиг d-функции на время t приводит согласно свойствам преобразования Фурье к спектру , т. е. амплитудный спектр функции d(t—t) остается прежним, а фазовый изменяется пропорционально wt.

Из равенства (9.39) согласно обратному преобразованию Фурье (9.7) следует, что

Учитывая условие взаимозаменяемости параметров t и w, последнее выражение можно переписать в следующем виде:

Уравнения (9.40) и (9.41) широко используются в теории сигналов и цепей.

Спектр постоянной составляющей функции a/2 = 1/2 с учетом (9.41) определяется уравнением

Таким образом, спектр постоянной составляющей равен нулю на всех частотах, кроме w = 0, где F(jw) обращается в бесконечность, то есть имеем на частоте w = 0 дискретную составляющую частоты в форме d-функции.

Спектр гармонического колебания. Проиллюстрируем методику использования прямого преобразования Фурье при определении спектра гармонического колебания

Преобразование (9.6) для функции (9.43) имеет вид

Формально функция (9.43) не удовлетворяет условию абсолютной интегрируемости, так как имеет показатель роста с = 0. По этому для вычисления интеграла (9.44) воспользуемся формулой Эйлера (3.18) и уравнением (9.41):

т. е. гармоническое колебание имеет дискретный спектр, состоящий из двух спектральных линий на частотах ±w.

Спектр одиночного прямоугольного импульса (см. рис. 9.2) можно найти как непосредственно из прямого преобразования Фурье (9.6), так и путем предельного перехода при q  ¥ (T ¥) в разложении (5.27). В результате получим

На рис. 9.3 изображен спектр одиночного импульса. Сравнение рис. 9.3 и рис. 9.4 показывает, что по своей форме спектр одиночного импульса совпадает с огибающей дискретного спектра последовательности периодических импульсов, однако спектр одиночного импульса является сплошным.

Из условия взаимосвязи между частотными и временными характеристиками сигнала следует, что сигнал с ограниченным по частоте ±w спектром прямоугольной формы (рис. 9.5, а) имеет бесконечную протяженность и форму, аналогичную спектру прямоугольного импульса (рис. 9.5, б).

Спектр радиоимпульса (рис. 9.6) можно найти как произведение видеоимпульса прямоугольной формы (рис. 9.7) и гармонического колебания (9.43). Тогда, воспользовавшись теоремой свертки (9.30), получим:

На рис. 9.8 показан вид спектра радиоимпульса.

Аналогичным образом можно найти спектр сигналов и более сложной формы.

Пример. Найти спектр экспоненциального импульса

В соответствии с прямым преобразованием (9.6) получаем

где — амплитудный (рис. 9.9, а) и —фазовый (рис. 9.9, б) спектры сигнала.

Пример 2. Определить спектр затухающего колебания (рис. 9.10)

Согласно (9.6) находим

Отсюда находим спектры:

амплитудный (рис. 9.11, а)

и фазовый (рис. 9.11, б)

В таблице 9.1 приведены спектры некоторых наиболее распространенных сигналов.

Характеристики

Изучение переходных процессов — важный шаг в процессе анализа динамических свойств и качества рассматриваемой системы. Широкое применение нашло экспериментальное и аналитическое определение и построение переходных процессов для наиболее неблагоприятных условий работы динамической системы при внешних возмущениях типа дельта-функции, ступенчатом или синусоидальных воздействиях.

Оценка качества САУ по виду кривой переходного процесса производится при помощи так называемых прямых показателей качества — перерегулирования, допустимого числа колебаний и времени переходного процесса. Обычно рассматривают переходный процесс, возникающий в системе при воздействии единичной ступенчатой функции, т. е. переходная функция замкнутой системы.

Время переходного процесса

Длительность переходного процесса в системе характеризует её быстродействие, а его характер определяет качество системы. За количественную характеристику длительности переходного процесса принимают время, необходимое выходному сигналу системы для того, чтобы приблизиться к своему установившемуся значению, т. е. время, по истечению которого выполняется равенство:

|h(t)−hst|⩽ϵ,{\displaystyle |h(t)-h_{st}|\leqslant \epsilon ,}

где hst{\displaystyle h_{st}} — установившееся значение;

ϵ{\displaystyle \epsilon } — наперёд заданное положительное число.

В линейных непрерывных динамических системах принято рассматривать переходной процесс, вызванный единичным ступенчатым возмущением, но в этом случае установившееся значение достигается за бесконечно большое время. Если же ограничить точность достижения установившегося значения некоторой малой величиной ϵ{\displaystyle \epsilon }, то тогда длительность переходного процесса t{\displaystyle t} будет конечной величиной.

В приложениях теории управления обычно в САУ принимают ϵ{\displaystyle \epsilon } равной 0,01—0,05 от hst{\displaystyle h_{st}}, т. е. переходный процесс считают закончившимся, когда переходная функция отличается не более, чем на 1–5 % от своего установившегося (стационарного) значения.

Перерегулирование

Перерегулирование (определяется величиной первого выброса) — отношение разности максимального значения переходной характеристики и её установившегося значения к величине установившегося значения. Измеряется обычно в процентах.

Степень затухания переходного процесса

Степень затухания переходного процесса определяется относительным уменьшением соседних амплитуд переходной характеристики.

Числителем является амплитуда первого колебания. Степень затухания показывает во сколько раз уменьшается амплитуда второго колебания по сравнению с первым.

Степень затухания системы зависит от показателя колебательности M{\displaystyle M} (см. ниже).

Логарифмический декремент колебания

Логарифмический декремент колебания — натуральный логарифм отношения амплитуд двух соседних перерегулирований. Обратная ему величина показывает, за какое число колебаний их амплитуда уменьшается в e{\displaystyle e} раз (e{\displaystyle e} — основание натуральных логарифмов). Уместен лишь для характеристики линейных систем.

Колебательность

Характеризует склонность системы к колебаниям и определяется как модуль отношения амплитуд второго колебания к амплитудам первого колебания. Колебательность системы характеризуют при помощи показателя колебательности M{\displaystyle M}, который представляет собой отношение резонансного пика при резонансной частоте к значению АЧХ при нулевой частоте.

Показатель колебательности связан со степенью колебательности формулой:

M=1+m22m.{\displaystyle M={\frac {1+m^{2}}{2m}}.}

При увеличении M{\displaystyle M}, уменьшается показатель колебательности m{\displaystyle m} и соответственно происходит уменьшение степени колебательности.

Установившаяся ошибка

Установившаяся ошибка системы — разница между предполагаемым и реальным значением выходного сигнала при времени, стремящемся к бесконечности. В идеальных астатических системах установившаяся ошибка равна нулю.

Причины возникновения и последствия электромеханических переходных процессов. Простейшее определение устойчивости

Нормальные переходные процессы возникают и при больших возмущениях в виде существенных изменений режима системы. Их причинами может быть изменения схемы соединения системы, появляющиеся например,

• при отключении агрегатов или линий электропередач несущих значительные нагрузки;
• при нормальном включении или отключении линии с большой зарядной мощностью;
• при включении генераторов методом самосинхронизации и т.д.

При этом появляются такие значительные отклонения параметров режима от их исходного состояния, что учет наиболее существенных нелинейных зависимостей P=f(δ) становится в большинстве случаев обязательным. Аварийные переходные процессы, вызванные короткими замыканиями и последующим отключением аварийных участков, а в некоторых случаях их повторными включениями, обязательно требуют при анализе учета нелинейностей. По отношению к большим возмущениям вводится понятия динамической устойчивости.

Статическая устойчивость – способность системы восстанавливать исходный режим после малого его возмущения или режим весьма близкий к исходному (если возмущающее воздействие не снято).

Динамическая устойчивость – способность системы восстанавливать после большого возмущения исходное состояние, практически близкое к исходному (допустимого по условию эксплуатации системы). Если после большого возмущения синхронная работа системы сначала нарушалась, а затем после некоторого, допустимого по условию эксплуатации асинхронного хода восстанавливается, то считается что система обладает результирующей устойчивостью.

Показатели качества переходного процесса.

После
обеспечения устойчивости системы необходимо обеспечить качество переходного
процесса управления, которое оценивают по переходной функции h(t), представляющей собой реакцию системы
на внешнее воздействие типа единичной ступенчатой функции 1(t).

На
примере переходной функции (рис.52) рассмотрим основные показатели качества
переходного процесса – время регулирования, перерегулирование, частоту колебаний,
число колебаний, максимальную скорость и максимальное ускорение регулируемой
величины.

Рис.52.
Переходная функция.

Время
регулирования t_pопределяется
длительностью переходного процесса. Теоретически переходной процесс длится
бесконечно долго, однако практически он заканчивается, как только отклонения
регулируемой величины от нового ее установившегося значения не будут превышать
допустимых пределов. Обычно принимают e =
(3¸5)% h_уст. Временем
регулирования характеризуют быстродействие системы. Однако иногда
быстродействие также характеризуют временем t_удостижения переходной функцией первый раз нового установившегося
значения или временем t_maxдостижения
максимального значения h_max.

Перерегулирование
Dh_max или выброс, представляет
собой максимальное отклонение регулируемой величины от нового установившегося
значения. Обычно первый максимум является наибольшим. Относительное перерегулирование,
.

Время
регулирования и перерегулирование (основные показатели переходного процесса)
тесно связаны между собой. Перерегулирование появляется вследствие того, что
система к новому установившемуся состоянию подходит с определенной скоростью,
которая графически отображается тангенсом угла наклона касательной в точке А.

.

Чем больше эта скорость, тем дальше за
новое установившееся положение «пройдет» система по инерции. Для уменьшения
перерегулирования необходимо снизить скорость, с которой система подходит к
новому установившемуся состоянию. Это приводит к увеличению времени
регулирования. Если система подходит к новому установившемуся состоянию с
нулевой скоростью, то перерегулирования не происходит, но время регулирования
значительно возрастает. Таким образом, отсутствие и очень большое перерегулирование
нежелательны. Поэтому перерегулирование допускают в пределах 20 – 30 % установившегося
значения. При этом число полуколебаний переходной функции равно двум-трем.

Переходные процессы при включении на постоянное напряжение разомкнутой и замкнутой на конце линии

При
замыкании рубильника (см. рис. 2) напряжение
в начале линии сразу же достигает
величины
,
и возникают
прямые волны прямоугольной формы
напряженияи
тока,
перемещающиеся вдоль линии со скоростью
V (см. рис. 3,а).Во всех точках линии, до
которых волна еще не дошла, напряжение
и ток равны нулю.Точка, ограничивающая
участок линии, до которого дошла волна,
называетсяфронтом волны.В
рассматриваемом случае во всех точках
линии, пройденных фронтом волны,
напряжение равно,
а ток -.

Отметим,
что в реальных условиях форма волны,
зависящая от внутреннего сопротивления
источника, параметров линии и т.п., всегда
в большей или меньшей степени отличается
от прямоугольной.

Кроме
того, при подключении к линии источника
с другим законом изменения напряжения
форма волны будет иной. Например, при
экспоненциальном характере изменения
напряжения источника (рис. 4,а) волна
будет иметь форму на рис. 4,б.

В
рассматриваемом примере с прямоугольной
волной напряжения при первом пробеге
волны напряжения и тока (см. рис. 3,а)
независимо от нагрузки имеют значения
соответственно
и,
что связано с тем, что волны еще не дошли
до конца линии, и, следовательно, условия
в конце линии не могут влиять на процесс.

В
момент времени
волны
напряжения и тока доходят до конца линии
длиной l, и нарушение однородности
обусловливает появление обратных
(отраженных) волн. Поскольку в конце
линия разомкнута, то

,

откуда
и.

В
результате (см. рис. 3,б) напряжение в
линии, куда дошел фронт волны, удваивается,
а ток спадает до нуля.

В
момент времени
,
обратная волна напряжения, обусловливающая
в линии напряжение,
приходит к источнику, поддерживающему
напряжение.
В результате возникает волна напряженияи
соответствующая волне тока(см.
рис. 3,в).

В
момент времени
волны
напряжения и тока подойдут к концу
линии. В связи с ХХи(см.
рис. 3,г). Когда эти волны достигнут начала
линии, напряжение и ток в ней окажутся
равными нулю. Следовательно, с этого
момента переходный процесс будет
повторяться с периодичностью.

В
случае короткозамкнутой на конце линии
в интервале времени
картина
процесса соответствует рассмотренной
выше. При,
поскольку в конце линиии,
что приведет к возрастанию тока в линии
за фронтом волны до величины.
Приот
источника к концу линии будет двигаться
волна напряженияи
соответствующая ей волна тока,
обусловливающая ток в линии, равный,
и т. д. Таким образом, при каждом пробеге
волны ток в линии возрастает на.

Отметим,
что в реальном случае, т.е. при наличии
потерь мощности, напряжение в линии в
режиме ХХ постепенно выйдет на уровень,
определяемый напряжением источника,
а ток в режиме КЗ ограничится активным
сопротивлением и проводимостью линии,
а также внутренним сопротивлением
источника.

Уравнения переходных процессов в цепях с распределенными параметрами

При
рассмотрении схемы замещения цепи с
распределенными параметрами были
получены дифференциальные уравнения
в частных производных

Их
интегрирование с учетом потерь
представляет собой достаточно сложную
задачу. В этой связи будем считать цепь
линией без потерь, т.е. положим
и.
Такое допущение возможно для линий с
малыми потерями, а также при анализе
начальных стадий переходных процессов,
часто наиболее значимых в отношении
перенапряжений и сверхтоков.

С
учетом указанного от соотношений (5) и
(6) переходим к уравнениям

Для
получения уравнения (7) относительно
одной переменной продифференцируем
(7) по х, а (8) – по t:

Учитывая,
что для линии без потерь
,
после подстановки соотношения (10) в (9)
получим

Аналогично
получается уравнение для тока

Волновым
уравнениям (11) и (12) удовлетворяют решения

Как
и ранее, прямые и обратные волны напряжения
и тока связаны между собой законом Ома
для волн

и,

где
.

При
расчете переходных процессов следует
помнить:

1. В
   любой момент времени напряжение и ток
   в любой точке линии рассматриваются
   как результат наложения прямой и
   обратной волн этих переменных на
   соответствующие величины предшествующего
   режима.

2. Всякое
   изменение режима работы цепи с
   распределенными параметрами обусловливает
   появление новых волн, накладываемых
   на существующий режим.

3. Для
   каждой волны в отдельности выполняется
   закон Ома для волн.

Как указывалось, переходный процесс в
цепях с распределенными параметрами
характеризуется наложением многократно
отраженных волн. Рассмотрим многократные
отражения для двух наиболее характерных
случаев: подключение источника постоянного
напряжения к разомкнутой и короткозамкнутой
линии.

9.7. Связь между временными и частотными характеристиками электрических цепей

Временной и частотный методы анализа переходных процессов базируются на двух взаимосвязанных характеристиках электрических цепей: импульсной или переходной, с одной стороны, и комплексной передаточной функции, с другой. Между этими характеристиками существует однозначное соответствие. Определим эту связь. Допустим, что на вход пассивной электрической цепи с комплексной передаточной функцией H(jw) приложено воздействие в виде единичной импульсной функции. Тогда с учетом того, что спектр единичного импульсного сигнала равен единице, спектр выходного сигнала согласно (9.51) будет:

Обратное преобразование (9.7) определит выходной сигнал f₂(t), который численно равен импульсной характеристике цепи:

Аналогично с учетом условия физической реализуемости (8.14) можно записать прямое преобразование Фурье:

Таким образом, приходим к важному выводу: импульсная и комплексная передаточные функции пассивной электрической цепи связаны между собой парой преобразования Фурье (9.62) и (9.63). А это, в свою очередь, означает, что импульсная характеристика однозначным образом определяет комплексную передаточную функцию цепи и наоборот

Причем, для h(t) и H(jw) справедливы все свойства и теоремы. Основные теоремы спектрального анализа. В частности, из теоремы изменения масштаба независимого переменного следует, что чем более растянута во времени импульсная характеристика цепи, тем уже ее АЧХ и наоборот. Условия безыскаженной передачи сигналов через линейную цепь было показано, что для неискажающей линейной цепи АЧХ должна быть равномерна, а это соответствует согласно (9.40) импульсной характеристике цепи в виде d-функции, что полностью подтверждает изложенное.

Связь комплексной передаточной функции с переходной характеристикой также определяется однозначно, поскольку последняя связана соотношением (8.2) с импульсной характеристикой цепи. Для установления этой связи можно воспользоваться интегральным представлением единичной функции (9.58):

с учетом формулы Эйлера (3.18) перепишем (9.64):

Если ко входу электрической цепи с передаточной функцией H(jw) = |H(jw)|ejj(w) приложена единичная функция (9.65), то сигнал на выходе цепи будет численно равен переходной характеристики g(t), спектр которой определяется согласно (9.51), где . Тогда после применения обратного преобразования Фурье с учетом (9.65) получим:

или

где

Таким образом, зная Н(jw), можно найти с помощью (9.66) также и g(t)

Важно отметить предельное соотношение между g(t) и Н(jw), вытекающее непосредственно из свойств (7.17)—(7.18) и связи между преобразованием Фурье и Лапласа:

Эти соотношения означают, что реакция на выходе цепи от единичного воздействия в установившемся режиме будет отлична от нуля, если передаточная функция на нулевой частоте не равна нулю (есть путь постоянной составляющей). И напротив, в начальный момент при t = 0 (момент коммутации) реакция на выходе будет изменяться скачком, если Н(¥) — не равна нулю, т. е. цепь имеет бесконечно большую полосу пропускания. Рассмотренные соотношения хорошо иллюстрируются условиями пропускания сигнала через линейную цепь.

В заключение рассмотрим связь между вещественной Н₁(w) и мнимой Н₂(w) частями комплексной передаточной функции (4.7). Перепишем (9.62) в форме

Отсюда, учитывая (4.7) и (4.8), получаем

Согласно условия физической реализуемости (8.14) при t < 0 h(t) = 0, поэтому (9.69) принимает вид

Отсюда, почленно складывая и вычитая (9.69) и (9.70), получаем уравнения связи импульсной характеристики с вещественной и мнимой частями комплексной передаточной функции H(jw):

Таким образом, для нахождения импульсной характеристики цепи достаточно воспользоваться частотной зависимостью только вещественной или мнимой частей H(jw). Из (9.71) следует также важный вывод о том, что нельзя независимо выбирать вещественную и мнимую части передаточной функции или, что то же самое, нельзя произвольно выбирать АЧХ и ФЧХ цепи, так как они связаны между собой определенной зависимостью (4.9), (4.10).

Оценки качества переходных процессов.

Качество
переходного процесса оценивают по графику переходной функции. Однако на
практике при исследовании качества регулирования используют косвенные оценки,
которыми являются некоторые числа, характеризующие отдельные моменты
переходного процесса. Эти числа можно найти без построения графика переходного
процесса. Существует несколько косвенных оценок качества переходного процесса —
частотные, интегральные, корневые и т.д.

Частотные
оценки. На резонансной частоте w_max АЧХ
имеет максимум A_max
(рис.53). При дальнейшем увеличении частоты система в следствие своей инерционности,
которая отражается постоянными времени ее звеньев, не успевает реагировать на
колебания больших частот и A(w) резко «падает».

Рис.53. Амплитудная и фазовая частотные характеристики следящей
системы.

Установлено,
что чем больше A_max,
тем более колебательным является переходной процесс. Отношение называют
показателем колебательности. Для следящих систем A(0) = 1, поэтому M = A_max. Обычно M = 1,2 ¸ 1,5. При малых M система имеет большое время
регулирования. При больших M
увеличивается перерегулирование, и система приближается к границе устойчивости.

Кроме
частоты w_max, характерными частотами АЧХ
являются w_сз и w_п. Частота
w_сз
называется частотой среза замкнутой системы и определяется на уровне A = 1. Для следящих систем частота w_сз
определяет диапазон частот вынужденных колебаний, которые пропускает система
без ослабления. На этой частоте амплитуды входного и выходного колебаний равны.
Частота w_п
называется полосой пропускания замкнутой системы и определяется на уровне
. Так как в диапазоне частот w_сз — w_п АЧХ
резко «падает», то числовые значения частот w_сз и w_п
близки.

Полоса
пропускания влияет на точность и быстродействие системы. С увеличением полосы
пропускания быстродействие системы растет. Чем больше полоса пропускания, тем
больший спектр входного сигнала передается без искажений. Однако при наличии
высокочастотных помех во входном сигнале нецелесообразно расширять полосу
пропускания, поскольку при этом система будет одинаково хорошо пропускать как
полезный сигнал, так и помеху.

О
качестве регулирования можно судить по ЛАЧХ. На основании расчетов переходных
процессов было установлено, что для удовлетворительного качества регулирования
участок средних частот, на котором ЛАЧХ пересекает ось абсцисс, должен иметь
наклон минус 20 дБ/декаду. Протяженность этого участка влияет на перерегулирование.
С его увеличением уменьшается колебательность переходного процесса. Приемлемое
качество переходных процессов имеет место, если протяженность этого участка примерно
равна декаде. Время регулирования t_p зависит от частоты среза, при которой ЛАЧХ
пересекает ось абсцисс. Чем больше w_с,
тем меньше t_p.

Корневые
оценки. Корневыми называются оценки, которые основываются на
расположении корней характеристического уравнения замкнутой системы, т.е.
полюсов передаточной функции замкнутой системы.

Корневой
оценкой качества является степень устойчивости – расстояние h от мнимой оси до ближайшего
корня на плоскости корней l
характеристического уравнения замкнутой системы (рис.54). Если ближайшим является
вещественный корень (рис.54.а), то ему соответствует апериодическая составляющая
решения для переходного процесса (апериодическая степень устойчивости h). Время ее затухания t_п 3/h при погрешности 5 %
характеризует общую длительность переходного процесса, так как все члены решения,
соответствующие основным корням затухают быстрее.

Рис.54. Корневые оценки качества переходных процессов.

Если
же ближайшей к мнимой оси окажется пара комплексных корней (рис.54.б), то
доминирующая составляющая решения для переходного процесса называется
колебательной (колебательная степень устойчивости h), причем оценка
длительности переходного процесса остается прежней t_п 3/h.

Колебательность
переходного процесса определяется величиной , где a и b — соответственно
вещественная и мнимая части корней характеристического уравнения. Эта величина
характеризует быстроту затухания колебаний за каждый период. Чем больше
величина m,
названная колебательностью, тем слабее затухания колебаний в переходном
процессе.

Для
уменьшения амплитуд отклонений в переходном процессе желательно, чтобы нули
передаточной функции замкнутой системы Ф(р) (значение р, при котором Ф(р) = 0)
располагались вблизи ее полюсов (корней характеристического уравнения, при
которых Ф(р) = ¥).

Об этом курсе

Недавно просмотрено: 2,770

В курсе рассматриваются применения закона электромагнитной индукции и базовые закономерности колебаний в электрических цепях.

Студенты познакомятся с описанием свободных и вынужденных колебаний, квазистационарных процессов, получат представление о спектральном разложении и принципах работы параметрических и автоколебательных систем.

Учебный материал основан на лекциях и семинарах по общей физике, читаемых студентам МФТИ в третьем семестре. Лекционный материал сопровождается наглядными демонстрациями.

Для закрепления знаний и получения навыков решения задач в конце каждой недели студентам предлагается решить проверочные задания в виде теста и четырех задач. Итоговая контрольная работа помимо основного блока заданий содержит задачи повышенной сложности, которые в разное время предлагались студентам МФТИ на семестровых контрольных работах.

Сертификат, ссылками на который можно делиться с другими людьми

Сертификат, ссылками на который можно делиться с другими людьми
Получите сертификат по завершении

100% онлайн

100% онлайн
Начните сейчас и учитесь по собственному графику.

Гибкие сроки

Гибкие сроки
Назначьте сроки сдачи в соответствии со своим графиком.

Часов на завершение
Прибл. 26 часов на выполнение

Доступные языки

Русский
Субтитры: Русский

Похожие записи:

Как выставить зажигание с помощью стробоскопа? Сигнализация действия защиты и автоматики Подключение потолочного светильника со светодиодами Маркировка smd компонентов: кодовые обозначения Как сделать веб-приложение для вашего собственного bluetooth low energy девайса? Как подключить усилитель в машине