Оптика
В оптике функция передачи модуляции указывает на возможность передачи оптического контраста.
Например, при наблюдении серии полос черно-белого света, нарисованных с определенной пространственной частотой, качество изображения может ухудшиться. Белая бахрома тускнеет, а черная становится ярче.
Передаточная функция модуляции на конкретной пространственной частоте определяется следующим образом:
- MТF(ж)знак равноM(ямаграмме)M(sотырcе),{\ Displaystyle \ mathrm {MTF} (е) = {\ гидроразрыва {M (\ mathrm {image})} {M (\ mathrm {source})}},}
где модуляция (M) вычисляется из следующего изображения или яркости света:
- Mзнак равноLМаксимум-LминLМаксимум+Lмин.{\ displaystyle M = {\ frac {L _ {\ max} -L _ {\ min}} {L _ {\ max} + L _ {\ min}}}.}
Устойчивость линейных систем
Общее решение линейного неоднородного
уравнения состоит из общего решения соответствующего однородного решения и
некоторого частного решения данного неоднородного уравнения.
Таким образом, если САУ устойчива, y переходного процесса (Yпер(t)) при будут
затухающими.
Находим характеристический паленом, его корни
и в зависимости от того, к какому виду они относятся
определяем условия, при которых САУ будет устойчивой. Корни могут быть:
1) действительными кратными;
2) действительными и различными;
3) комплексными;
4) комплексными кратными.
Общее решение y(t) будет представлять паленом,
умноженный на сумму экспонент с заданными коэффициентами.
В случае комплексных корней, когда ,
каждой паре комплексно сопряженных корней будет соответствовать следующее
составляющая переходного процесса:
Если
хотя бы один корень >0, то система неустойчивая.
Система будет находиться на границе
устойчивости при наличии либо нулевого характеристического корня, либо пары
число мнимых корней. (a=0)
4. Критерий устойчивости Михайлова (вывод
— случай вещественных корней).
Обработка сигналов
Пусть будет вход общего линейного времени инвариантом системы и быть выходом, а двустороннее преобразование Лапласа от и быть
Икс(т){\ Displaystyle х (т)}у(т){\ Displaystyle у (т)}Икс(т){\ Displaystyle х (т)}у(т){\ Displaystyle у (т)}
- Икс(s)знак равноL{Икс(т)} знак равноdеж ∫-∞∞Икс(т)е-sтdт,Y(s)знак равноL{у(т)} знак равноdеж ∫-∞∞у(т)е-sтdт.{\ Displaystyle {\ begin {align} X (s) & = {\ mathcal {L}} \ left \ {x (t) \ right \} \ {\ stackrel {\ mathrm {def}} {=}} \ \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} x (t) e ^ {- st} \, dt, \\ Y (s) & = {\ mathcal {L}} \ left \ {y (t) \ right \} \ {\ stackrel {\ mathrm {def}} {=}} \ \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} y (t) e ^ {- st} \, dt. \ end { выровнено}}}
Тогда выход связан с входом передаточной функцией как
ЧАС(s){\ Displaystyle H (s)}
- Y(s)знак равноЧАС(s)Икс(s){\ Displaystyle Y (s) = H (s) X (s)}
и поэтому сама передаточная функция
- ЧАС(s)знак равноY(s)Икс(s).{\ displaystyle H (s) = {\ frac {Y (s)} {X (s)}}.}
В частности, если сложный гармонический сигнал с синусоидальной составляющей с амплитудой , угловой частотой и фазой , где arg — аргумент|Икс|{\ displaystyle | X |} ω{\ displaystyle \ omega} аргумент(Икс){\ Displaystyle \ arg (X)}
- Икс(т)знак равноИксеjωтзнак равно|Икс|еj(ωт+аргумент(Икс)){\ Displaystyle x (t) = Xe ^ {j \ omega t} = | X | e ^ {j (\ omega t + \ arg (X))}}
- куда Иксзнак равно|Икс|еjаргумент(Икс){\ Displaystyle X = | X | е ^ {j \ arg (X)}}
вводится в линейную инвариантную во времени систему, то соответствующий компонент на выходе:
- у(т)знак равноYеjωтзнак равно|Y|еj(ωт+аргумент(Y)),Yзнак равно|Y|еjаргумент(Y).{\ Displaystyle {\ begin {align} y (t) & = Ye ^ {j \ omega t} = | Y | e ^ {j (\ omega t + \ arg (Y))}, \\ Y & = | Y | e ^ {j \ arg (Y)}. \ end {выравнивается}}}
Обратите внимание, что в линейной системе, не зависящей от времени, входная частота не изменилась, система изменила только амплитуду и фазовый угол синусоиды. Частотная характеристика описывает это изменение для каждой частоты с точки зрения усиления :
ω{\ displaystyle \ omega} ЧАС(jω){\ displaystyle H (j \ omega)}ω{\ displaystyle \ omega}
- грамм(ω)знак равно|Y||Икс|знак равно|ЧАС(jω)|{\ Displaystyle G (\ omega) = {\ frac {| Y |} {| X |}} = | H (j \ omega) |}
и фазовый сдвиг :
- ϕ(ω)знак равноаргумент(Y)-аргумент(Икс)знак равноаргумент(ЧАС(jω)).{\ displaystyle \ phi (\ omega) = \ arg (Y) — \ arg (X) = \ arg (H (j \ omega)).}
Фазовой задержки (то есть, в зависимости от частоты величина задержки вводится в синусоиды с помощью передаточной функции) является:
- τϕ(ω)знак равно-ϕ(ω)ω.{\ displaystyle \ tau _ {\ phi} (\ omega) = — {\ frac {\ phi (\ omega)} {\ omega}}.}
Групповая задержка (то есть, в зависимости от частоты величины задержки представлена огибающей синусоиды с помощью передаточной функции) определяется путем вычисления производной фазового сдвига по отношению к угловой частоте ,
ω{\ displaystyle \ omega}
- τграмм(ω)знак равно-dϕ(ω)dω.{\ displaystyle \ tau _ {g} (\ omega) = — {\ frac {d \ phi (\ omega)} {d \ omega}}.}.
Передаточная функция также может быть показана с использованием преобразования Фурье, которое является лишь частным случаем двустороннего преобразования Лапласа для случая, когда .
sзнак равноjω{\ displaystyle s = j \ omega}
Общие семейства передаточных функций
Хотя любую систему LTI можно описать той или иной передаточной функцией, существуют определенные «семейства» специальных передаточных функций, которые обычно используются.
Некоторые общие семейства передаточных функций и их особые характеристики:
- Фильтр Баттерворта — максимально ровный по полосе пропускания и полосе задерживания для данного порядка
- Фильтр Чебышева (Тип I) — максимально плоский по полосе задерживания, более резкое срезание, чем фильтр Баттерворта того же порядка
- Фильтр Чебышева (Тип II) — максимально плоская по полосе пропускания, более резкое срезание, чем фильтр Баттерворта того же порядка
- Фильтр Бесселя — лучший импульсный отклик для заданного порядка, поскольку он не имеет пульсаций групповой задержки
- Эллиптический фильтр — наиболее резкое срезание (самый узкий переход между полосой пропускания и полосой заграждения) для данного порядка
- Оптимальный фильтр «L»
- Фильтр Гаусса — минимальная групповая задержка; не дает перерегулирования ступенчатой функции
- Фильтр песочных часов
- Фильтр с приподнятым косинусом
В целом
Под системой понимается в абстрактной теории систем процесс, который преобразует сигнал или передает . Сигнал, подаваемый на него, затем называется входным сигналом, а результирующий сигнал называется выходным сигналом . Как сигнал преобразуется или как эти два сигнала связаны друг с другом, математически описывается передаточной функцией.
Передаточная функция описывает динамическое поведение системы во времени. Его можно использовать для расчета того, как любой входной сигнал преобразуется системой или какой выходной сигнал она производит. Он описывает динамическое поведение системы полностью и независимо от конкретных сигналов. Передаточная функция отображает только поведение математической системы, но не отдельные компоненты системы. И наоборот, детали реализации не могут быть прочитаны непосредственно из передаточной функции.
Передаточные функции используются в инженерии везде, где описываются или рассчитываются изменения сигналов — намеренные или непреднамеренные. Они в основном используются при анализе систем SISO , как правило, в области обработки сигналов , управления и связи , а также в теории кодирования . Таким образом можно математически смоделировать все системы, которые могут быть представлены линейными дифференциальными или разностными уравнениями . Процесс, изменяющий сигнал, часто можно приблизительно описать линейной моделью . Тогда можно использовать теорию систем LZI ; они легко доступны аналитически и хорошо исследованы теоретически.
Поскольку системы LZI изменяют только амплитуду и фазовый угол частотных составляющих сигнала, описание в частотной области обычно более практично, а также более компактно. Описание временного поведения системы LZI может быть выполнено в непрерывном случае с помощью линейных дифференциальных уравнений. Его можно перенести в частотную область с помощью преобразования Лапласа . И наоборот, обратное преобразование Лапласа можно использовать для восстановления временного поведения по передаточной функции.
В дискретных системах, таких как Б. В большинстве цифровых технических систем (например, цифровых фильтров ) поведение системы определяется только в определенные моменты времени . Такие системы могут быть описаны во временной области линейными разностными уравнениями и перенесены в область изображений с помощью z-преобразования .
В качестве связующего звена между непрерывными и дискретными по времени передаточными функциями доступны различные преобразования, такие как билинейное преобразование или преобразование импульсной инвариантности , чтобы иметь возможность преобразовывать передаточные функции между этими двумя формами с учетом определенных ограничений.
- Системный анализ: если внутренняя структура системы известна, ее можно смоделировать математически и рассчитать ее поведение.
- Идентификация системы : при известных выходных и входных сигналах Y и X, которые могут быть измерены или заданы, передаточная функция получается путем формирования частного .YИкс{\ displaystyle {\ tfrac {Y} {X}}}
пример
Простым примером изменения желаемого сигнала является фильтр нижних частот : он отфильтровывает высокие частоты из входного сигнала и оставляет только низкочастотные компоненты в выходном сигнале. Непреднамеренное изменение — z. Б. искажение во время передачи по каналу (например, медному кабелю, оптоволоконному кабелю или радиолинии). Здесь вообще хотелось бы, чтобы канал не менял сигнал. Однако это происходит потому, что на самом деле он не идеален. Затем такие искажения необходимо компенсировать либо в передатчике, либо в приемнике.
Уравнения звеньев системы.
Целью
рассмотрения системы автоматического управления является решение одной из двух
задач: анализа или синтеза системы. При анализе системы требуется определить
свойства системы с заданными значениями параметров, при синтезе – создать
систему, удовлетворяющую заданным требованиям. В общем виде порядок исследования
в обоих случаях включает в себя математическое описание системы, исследование
ее установившихся и переходных режимов.
Математическое
описание, т.е. получение математической модели, начинается с разбиения системы
на звенья и описание этих звеньев. По уравнениямили характеристикам отдельных звеньев
составляют уравнения или определяют характеристики системыв целом, на основании которых ее исследуют.
Звеном
называют часть системы, которая осуществляет преобразование входной величины в
выходную. Звено обладает свойством однонаправленности, т.е. предыдущее звено
воздействует на последующее. Разбиение системы на звенья может не совпадать с
разбиением системы на функциональные элементы.
Звено
– это условно выделенный направленного действия преобразователь сигналов,
который может быть частью элемента или состоять из нескольких таких элементов.
Если
разбить систему на звенья направленного действия, то математическое описание
каждого звена может быть выполнено без учета его связей с другими звеньями
системы. При этом математическое описание всей системы в целом может быть
получено как совокупность составленных независимо друг от друга уравнений
звеньев системы и уравнений связи между звеньями.
Уравнениями
связи называют уравнения, отражающие характер передачи
воздействий между звеньями системы.
После
разбиения САУ на звенья направленного действия и получения математического
описания звеньев составляют структурную схему. Структурной схемой САУ
называется схема, показывающая, из каких звеньев состоит система и как эти
звенья соединены между собой. На структурной схеме звенья изображаются
прямоугольниками, а связи между звеньями и внешние воздействия – стрелками.
Каждому звену структурной схемы соответствует описывающее его уравнение или
характеристика. Получение структурной схемы является конечной целью
математического описания.
Различают
два вида характеристик звеньев: статические и динамические. Статическая
характеристика звена представляет собой зависимость между входной и выходной величинами в
установившемся режиме при разных постоянныхзначениях внешнего воздействия В общем случае эта зависимость
является нелинейной.
Если
на находящееся в некотором состоянии звено (систему) влияет возмущающее
воздействие, то звено начинает переходить в некоторое другое состояние. Характер
процесса перехода звена (системы) из одного состояния в другоеопределяется динамической
характеристикой звена (уравнением движения). Уравнение движения – это
дифференциальное уравнение, определяющее изменение во времени выходной величины
звена по заданному изменению во времени его выходной величины.
В
теории автоматического управления общее дифференциальное уравнение звена
(системы) принято записывать в следующем виде:
где
m и n – числа, показывающие высший порядок
производных от входной величиныи выходной величины ;
; ;
;;
.
.
.
В
большинстве случаев m<n. Числа m и n показывают высший порядок производных
от входной величины X и
выходной величины Y.
Если динамика звена описывается
линейным дифференциальным уравнением, то это звено называется линейным,
если дифференциальное уравнение нелинейное, то звено называют нелинейным.
Основы
определение
Для непрерывных систем, которые являются линейными и инвариантными во времени (т. Е. Система всегда демонстрирует одно и то же поведение при одном и том же вводе), передаточная функция определяется как
- грамм(s)знак равноY(s)U(s)знак равноЛ.{у(т)}Л.{ты(т)}{\ Displaystyle G (s) = {\ гидроразрыва {Y (s)} {U (s)}} = {\ frac {{\ mathcal {L}} \ {y (t) \}} {{\ mathcal { L}} \ {u (t) \}}}} или, альтернативно, в обозначении оператора Y(s)знак равнограмм(s)⋅U(s).{\ Displaystyle Y (s) = G (s) \ cdot U (s).}
Функции Y (s) и U (s) представляют собой преобразования Лапласа выходного или входного сигнала. G (s) является частным этих двух величин и, таким образом, описывает систему. ( Двустороннее преобразование Лапласа играет второстепенную роль в реальных технических системах, поскольку они являются причинными .)
Для дискретных по времени систем LZI, таких как те, которые используются в B. используются в цифровой обработке сигналов , определение аналогично, только здесь используются z-преобразования:
- грамм(z)знак равноY(z)Икс(z)знак равноZ{уk}Z{Иксk}.{\ Displaystyle G (z) = {\ гидроразрыва {Y (z)} {X (z)}} = {\ frac {{\ mathcal {Z}} \ {y \}} {{\ mathcal { Z}} \ {x \}}}.}
Вывод через систему уравнений (системный анализ)
Если внутренняя структура системы известна, поведение во времени можно описать соответствующим системным уравнением. В случае непрерывных систем это дифференциальные уравнения , в случае дискретных по времени систем — дифференциальные уравнения . Если это все еще линейные уравнения, соответствующая система также будет линейной и в то же время также инвариантной во времени — система LZI.
Вместо того, чтобы описывать поведение системы во временной области, оно может быть перенесено в соответствующую частотную область и далее проанализировано там. С помощью преобразованного уравнения обычно легче найти решение, и, таким образом, можно определить реакцию системы на любой входной сигнал или передаточную функцию.
Для непрерывных систем стандартно используется преобразование Лапласа, для систем с дискретным временем — z-преобразование. Такая связь между функциями времени и изображения называется соответствием . Поскольку аналитическое определение этих преобразований является сложным и одни и те же преобразования часто повторяются снова и снова, существуют так называемые таблицы соответствия, в которых можно найти часто используемые преобразования.
Начальные значения уравнений системы представляют внутреннее состояние системы в начале, например Б. внутреннего накопителя энергии. В большинстве случаев начальное состояние не представляет интереса для системного анализа и предполагается, что все начальные значения равны нулю, т.е. То есть внутренний накопитель энергии системы пуст.
Обработка сигналов (идентификация системы)
При обработке сигналов обычно возникает желание преобразовать заданный входной сигнал в определенный выходной сигнал или определенным образом изменить спектр входного сигнала. И. Э. В отличие от системного анализа, реакция системы известна, но не то, как она работает.
В этом случае системное уравнение (как во временной области, так и в частотной области) неизвестно и определяется по входному и выходному сигналу.
В непрерывной системе входные и выходные сигналы отображаются в частотном диапазоне:
- Икс(s)знак равноЛ.{Икс(т)} знак равноdеж ∫-∞∞Икс(т)е-sтdт{\ Displaystyle X (s) = {\ mathcal {L}} \ left \ {x (t) \ right \} \ {\ stackrel {\ mathrm {def}} {=}} \ \ int _ {- \ infty } ^ {\ infty} x (t) \ mathrm {e} ^ {- st} \, \ mathrm {d} t}
- Y(s)знак равноЛ.{у(т)} знак равноdеж ∫-∞∞у(т)е-sтdт.{\ Displaystyle Y (s) = {\ mathcal {L}} \ left \ {y (t) \ right \} \ {\ stackrel {\ mathrm {def}} {=}} \ \ int _ {- \ infty } ^ {\ infty} y (t) \ mathrm {e} ^ {- st} \, \ mathrm {d} t.}
Тогда выходной сигнал зависит от входного сигнала через передаточную функцию:
- Y(s)знак равнограмм(s)⋅Икс(s).{\ Displaystyle Y (s) = G (s) \ cdot X (s).}
И, переставив, вы получите то же самое:
- грамм(s)знак равноY(s)Икс(s).{\ displaystyle G (s) = {\ frac {Y (s)} {X (s)}}.}
Метод работает аналогичным образом в системах с дискретным временем, поскольку здесь используется z-преобразование сигналов.
Передаточные функции и характеристики разомкнутых систем.
Системы
автоматического управления в большинстве случаев являются замкнутыми. Однако
при их анализе и проектировании часто предварительно рассматривается разомкнутая
цепь звеньев, которая затем замыкается.
Различают
последовательное, параллельное и параллельное с обратной связью соединения
звеньев (рис.42).
Рис.42. Схемы соединения звеньев.
Последовательным
соединением звеньев называют такое соединение, когда выходная
величина предыдущего звена, является входной величиной последующего звена
(рис.42.а). Если последовательно соединяются звенья m и n, то .
Передаточная
функция всей цепи
Передаточные
функции звеньев
где-
изображение по Лапласу соответствующих переменных.
Если
перемножить правыеи левые части
полученных равенств получим
Поскольку
все промежуточные переменные при перемножении
сократятся, то
Передаточная
функция разомкнутой цепи последовательно соединенных звеньев равна произведению
передаточных функций всех звеньев.
Переходя
от передаточных функций к частотным характеристикам системы, т.е. полагая , получим
.
Представив
в виде,находим
;
;
Таким
образом, при последовательном соединении звеньев амплитудно-частотные
характеристики перемножаются, логарифмически амплитудно-частотные и фазовые
частотные характеристики складываются.
Рассмотрим
получение частотных характеристик разомкнутой цепи при последовательном
соединении звеньев. Пусть передаточная функция разомкнутой цепи
.
Причем
(при таком x
можно не учитывать «горб» АЧХколебательного
звена).
Логарифмическую
асимптотическую АЧХ можно построить непосредственно по передаточной функции.
ЛАЧХ является ломанной линией. При этом согласно характеристикам типовых
звеньев каждому сомножителю в знаменателе
соответствует точка излома характеристики при с последующим наклоном
минус 20 дБ/декаду, а каждому сомножителю такого же типа в числителе
соответствует точка излома также при , но с последующим наклоном плюс 20 дБ/декаду. Сомножителю
типа в знаменателе
соответствует излом характеристики при с наклоном минус 40
дБ/декаду.
Методика
построения ЛАЧХ (рис.43) сводится к следующему:
1)определение сопрягающих
частот типовых звеньев в порядке возрастания
; ; ; ; ;
2)
вычисление на частоте ординаты , где k –
общий коэффициент передачи разомкнутой системы. Через полученную точку проводят
низкочастотную асимптоту ЛАЧХ., представляющую собой при w<1 прямую с наклоном
минус 20r
дБ/декаду, где r —
число интегрирующих звеньев;
3)
изменение наклона ЛАЧХ на сопрягающих частотах по сравнению с тем наклоном,
который она имела до рассматриваемой частоты.
Рис.43. Частотные характеристики цепи последовательно
соединенных элементов.
Фазовая частотная характеристика (рис.43)
определяется по выражению:
Параллельным
соединением звеньев называется такое соединение, когда на входе
всех звеньев подается одна и та же величина, а выходные сигналы суммируются
(рис.42.б). Если параллельно соединяются n звеньев, то входной сигнал
,
а
выходной сигнал
.
Переходя
к изображению и учитывая, что , получим
,
т.е.
.
Следовательно,
,.
Таким
образом, при параллельном соединениизвеньев передаточные, переходные и весовые функции каждого звена
суммируются.
При
параллельном соединении звеньев с обратной связью обратная связь может быть
положительной, еслисигнал обратной
связи складывается с входным сигналом , или отрицательной, если сигнал обратной связи вычитается из (рис.42.в).
При
отрицательной обратной связи схема описывается следующим уравнением:
.
В
свою очередь определяется в соответствии с выражением
.
Подставив
значение в выражение для , получим
.
Решим
это уравнение относительно .
.
Отсюда
.
Передаточная
характеристика замкнутой системы при отрицательной обратно связи определяется в
соответствии с выражением
,
при
положительной обратной связи
.
Основные характеристики звеньев и систем.
Передаточная
функция. Она характеризует изменение сигнала при его прохождении
через звено или систему (рис.29). В теории автоматического управления передаточные
функции устанавливают взаимосвязь между преобразованиями сигнала на входе и на
выходе звена или системы (преобразования Лапласа).
Рис.29. Структурная схема звена
Преобразование
Лапласа функции времени :
,
где — переменная
преобразования Лапласа,- символ
преобразования Лапласа.
Функция
называется оригиналом,
а — ее изображением.
При нулевых начальных условиях
;;.
Соответственно
, , . Применяя преобразование Лапласа к общему дифференциальному
уравнению, описывающему звено, при нулевых начальных условиях, получим
Передаточной
функцией звена или системы W(p) называется отношение изображений
Лапласа выходной и входной величин, т.е.
при
нулевых начальных условиях.
В
общем случае передаточная функция звена имеет вид
,
где M(p) и N(p) — полиномы степени m и n. ,
.
Если
известны передаточные функции отдельных звеньев системы, то можно получить передаточную
функцию всей системы в целом.
Переходная
функциязвена.
Переходнойфункцией h(t) называется реакция звена на единичное
ступенчатое воздействие (рис.30), т.е. переходной процесс на выходеy(t)при единичном скачке на входе звена. Следовательно
;
.
Рис.30.Переходная
функция звена.
Весовая
функция звена. Весовой функцией (импульсной переходной функцией)
называется реакция
звена или системы на единичный импульс (рис.31). Единичный импульс (импульсная
функция) представляет собой производную от единичной ступенчатой функции , и соответствует импульсу бесконечно большой амплитуды и
бесконечно малой длительности, возникающему в момент времени , так что его площадь равна единице, т.е.
Учитывая
это, получим ; , т.е. весовая функция представляет собой оригинал
передаточной функции.
Рис.31. Весовая функция звена.
Частотные
характеристики звена. Частотными характеристиками называются
формулы и графики, характеризующие реакцию звена на синусоидальное входное воздействие
в установившемся режиме.
Если
на вход звена подается величина (рис.32)
то
на выходе в установившемся режиме получается:
,
где- амплитуда, — фаза
Рис.32. Частотные характеристики звена.
Применяется
символическая запись синусоидальныхколебаний:
.
Подставив эти величины в уравнение звена,
получим
Откуда
Отсюда
находим
;.
представляет собой амплитудно-фазовую
частотную характеристику звена (АФЧХ). Иногда частотной передаточной
функцией звена, которая является комплексной функцией от действительной
переменной w. называется
соответственно амплитудно-частотной характеристикой звена (АЧХ), — фазовой частотной
характеристикой звена (ФЧХ).
Функцию
можно представить в
виде
,
где U(w) и V(w) – соответственно
вещественная и мнимая частотные характеристики.
Графически
АФЧХ изображается на комплексной плоскости в полярных координатах , как годограф функции (рис.33).
Рис.33. Амплитудно-фазовая частотная характеристика звена.
Длина
вектора равна , а угол, образованный этим вектором с действительной
положительной полуплоскостью, равен .
Кроме
частотных характеристик используются логарифмические частотные характеристики —
логарифмические амплитудно-частотные (ЛАЧХ) и логарифмические фазовые
частотные (ЛФЧХ) характеристики.
ЛАЧХ
— это график зависимости от логарифма частоты lgw. При построении ЛАЧХ по оси абсцисс
откладывают частоту в логарифмическом масштабе, а по оси ординат L(w).
ЛФЧХ
— это график зависимости фазовойчастотной функции от логарифма частоты lgw. При его построении по оси абсцисс
откладывают частоту в логарифмическом масштабе, по оси ординат откладываютв градусах или
радианах.
За
единицу масштаба по оси абсцисс принимается декада – частотный интервал,
соответствующий изменению частоты в 10 раз. Ось ординат при построении этих
характеристик проводят через произвольную, удобную для рассматриваемой задачи,
точку, а не через точку w=0,
поскольку частоте w=0 соответствует
бесконечно удаленная точка.
Единицей
L(w)
является децибел (дБ), равный одной десятой Бела. Бел -это единица десятичного логарифма
коэффициента усиления мощности сигнала, т.е. 1 Бел соответствует усилению
мощности в 10 раз. Поскольку мощность сигнала пропорциональна квадрату
амплитуды, а , то усиление в Белах, выраженное через отношение амплитуд,
равно . L(w)=20
дБ означает, что на данной частоте при прохождении сигнала через звено его амплитуда
увеличивается в 10 раз.
Индивидуальные доказательства
- Бернд Жирод, Рудольф Рабенштейн, Александр Стенгер: Введение в теорию систем . 4-е издание. Teubner, Wiesbaden 2007, ISBN 978-3-8351-0176-0 , стр.101 .
- Бернд Жирод, Рудольф Рабенштейн, Александр Стенгер: Введение в теорию систем . 4-е издание. Teubner, Wiesbaden 2007, ISBN 978-3-8351-0176-0 , стр.7 .
- Бернд Жирод, Рудольф Рабенштейн, Александр Стенгер: Введение в теорию систем . 4-е издание. Teubner, Wiesbaden 2007, ISBN 978-3-8351-0176-0 , стр.6 .
- Джон Г. Проакис, Масуд Салехи: Разработка систем связи . 2-е издание. Prentice Hall, Upper Saddle River, NJ 2002, ISBN 0-13-095007-6 , стр.626 (английский).
- Бернд Жирод, Рудольф Рабенштейн, Александр Стенгер: Введение в теорию систем . 4-е издание. Teubner, Wiesbaden 2007, ISBN 978-3-8351-0176-0 , стр.326 .
- Бернд Жирод, Рудольф Рабенштейн, Александр Стенгер: Введение в теорию систем . 4-е издание. Teubner, Wiesbaden 2007, ISBN 978-3-8351-0176-0 , стр.102 .
- Бернд Жирод, Рудольф Рабенштейн, Александр Стенгер: Введение в теорию систем . 4-е издание. Teubner, Wiesbaden 2007, ISBN 978-3-8351-0176-0 , стр.100 .
- Бернд Жирод, Рудольф Рабенштейн, Александр Стенгер: Введение в теорию систем . 4-е издание. Teubner, Wiesbaden 2007, ISBN 978-3-8351-0176-0 , стр.303 .
- Дуглас К. Линднер: сигналы и системы . McGraw-Hill, ISBN 0-07-116489-8 , стр. 294 f.
Вывод формул
Характер системы определяется
характеристическим полиномом:
p=jw, , где j – мнимая единица, w – угловая частота колебаний.
Произведем замену:
Пример
В X(w) содержатся
четные степени w, а в Y(w)
– нечетные.
где каждая скобка – комплексное число, а при
умножении комплексных чисел аргументы складываются. Результирующий угол в
случае вещественных корней представляет собой .
Рассмотрим зависимость
между критерием Михайлова и знаками вещественных корней характеристического
уравнения при изменении w=[0,∞).
1. Предположим, что p1= – вещественное
отрицательное число. p1=-a1, a1>0
(jw-p1)=(jw+a1). Вектор OB при
займет положение π/2.
2. Предположим, что p1 – вещественное
положительное число. p1=a1, a1>0.
(jw-p1)=(jw-a1). Вектор OB при
займет положение -π/2
3. Если характеристическое уравнение имеет k корней с положительной вещественной частью, то им
соответствует сумма углов поворота, равная –k*π/2. Остальные (n-k) корней, имеющих отрицательные вещественные части,
будут иметь результирующий угол поворота: (n-k)*π/2.
Общий угол поворота вектора характеристического уравнения равен
